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关于“一进制”数学的阐述
2016-01-05
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    关于“一进制”数学的阐述及其在数算领域中的应用与展望

    摘要:一进制数学是人类最早所认知的数学,十进制就是在此基础上发展起来的数学体系。我国春秋时代已经盛行“筹算”,其后来演变为“珠算”。笔者探究,筹算及珠算之十进制记数方法,延用的就是古老的一进制之编码方法,即“一进制编码的五进制”和“一进制编码的二进制”又组合编码的十进制。莱布尼茨的所谓“二进制”,实乃抄袭了中国筹算及珠算之“一进制编码的二进制”技术。对“一进制数学”的深入研究,将会对计算机数学的发展和解密祖国传统文化具有积极和深远的意义。

    关键词:二元记数;一进累值制;一进制编码;组合编码

    1.引言

    在人类文明史上,数字和文字的发明可说是最伟大的发明和创造。人类从不会计数到学会计数,从简单记数到进行复杂的运算,经历了一个漫长的历史过程。恩格斯说:“数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的”(恩格斯《反杜林论》)。

    从自然科学由简到繁发展规律看,人类最先学会和使用的记数方式,当是“数手指”、“画道道”以及“结绳”等这种最简单的记数方式。至今在文化落后的边远农村,以及还在受启蒙教育的小学生,仍使用“数豆子”的方式进行记数和计算。

    “数手指”当之无愧是人类最原始、最简单的记数方式。我们若用现代数学之记数观点来分析,“数手指”当属于“非有即无”二元记数命题,即:“屈手指”为“0”,“伸手指”为“1”。笔者把“数手指”、“数豆子”、“画道道”以及“结绳”等这种最原始最简单的累加记数方式,命名为“一进累值制”(数权由于均等,故数结构可呈“离散”状态),简称“一进制”,定义:“见一进一,溢位归零”(溢位时,统一归零)。汉字“一”、“二”、“三”之记数方式,即是此“一进制”记数方式的历史遗存(注:中国古代用“空”表示“0”数码)。

    笔者探究,中国筹算和珠算之十进制记数方法,延用的就是这种古老的“一进累值制”之编码方法,即“一进制编码的五进制”和“一进制编码的二进制”又组合编码的方法。莱布尼茨的所谓“二进制”发明,乃是抄袭了中国筹算及珠算之“一进制编码的二进制”技术。

    2.“一进累值制”及其编码

    中国是世界上最早采用十进位值制记数的国家,这是我国人民对世界数学发展作出的一项重要贡献。李约瑟先生在《中国科学技术史》中说:“如果没有十进制,就几乎不可能出现我们现在的这个统一化的世界”。马克思在《数学手稿》一书中则称十进制是世界上“最妙的发明之一”。人有十个手指(以及十个脚趾),当人类第一次数手指从“1”计数到“10”即开始“溢位”时,随即把十个手指恢复到初始状态复从“1”记数,同时在另一个地方如在脚趾上标记下溢位次数“1”、“2”、“3”……的时候,人类就发明了“十进制”。

    诚然,人类这种最原始的十进制,乃是“一进制编码”的十进制,我们若用现代数学之编码观点来分析,即是“111111111”数权编码。如我们用“0”“1”二元方式表示1-10数码,就是:

   
    也就是说,我们人类最原始的十进制,实际上就是把“溢位数”定义为“10”的“一进制编码”。

    诚然,我们用“一进制编码”方法,还可以编码出其它进制,如“五进制”、“四进制”、“三进制”、“二进制”等等进制。下面分述如下:

    2.1“五进制”,即用一进制编码的五进制

    我们若把“溢位数”定义为“5”,也即一进制“编码结构”为“4”的时候,实际上我们就用一进制“编码”出了--“五进制”,如:

   

    2.2 “四进制”,即用一进制编码的四进制

    我们若把“溢位数”定义为“4”,也即一进制“编码结构”为“3”的时候,实际上我们就用一进制“编码”出了--“四进制”,如:

    

    2.3“三进制”,即用一进制编码的三进制

    我们若把“溢位数”定义为“3”,也即一进制“编码结构”为“2”的时候,实际上我们就用一进制“编码”出了--“三进制”,如:

   

    2.4“二进制”,即用一进制编码的二进制

    我们若把“溢位数”定义为“2”,也即一进制“编码结构”为“1”的时候,实际上我们就用一进制“编码”出了--“二进制”,如:

    
    小节,通过以上四个编码实例,我们可以总结出,“一进累值制”及其编码不仅仅是“0”“1”二元计数和记数的最初形式,而且莱布尼茨的所谓“二进制”计数和记数,实际上也只是“一进制编码”的一种形式而已:即把一进制“溢位数”定义为“2”,也即一进制“编码结构”为“1”的时候。

    3.一进制编码及组合编码在数算领域中的应用

    在中国数算领域,即在中国古代珠算和筹算时代,实际上已经触及到上述一进制编码的“两种”进制:即一进制编码的“五进制”和一进制编码的“二进制”,以及二者的“组合编码”。下面我们以中国珠算一进制编码及组合编码为例,进行说明:

    中国珠算工具算盘之下档“四颗”算珠(共有五珠,在十进制中底珠不用),实际上就是上述“一进制编码的五进制”,即“0+1=1”、“1+1=11”、“11+1=111”、“111+1=1111”,而“1111+1=0”同时发生“进位”(向上档);而算盘之上档“一颗”算珠(共有两珠,在十进制中顶珠不用),实际上就是上述“一进制编码的二进制”,即“0+1=1”,“1+1=0”同时发生“进位”(向高位)。换句话说,中国算盘之“上档二进制算珠”和“下档五进制算珠”又巧妙地“组合编码”为十进制,即“51111”数权编码。如下图:

    

    那么,中国算盘之“上档二进制算珠”和“下档五进制算珠”又巧妙“组合编码”的十进制,即“51111”数权编码,又是怎样进行计算的呢?我们用下边的计算实例来说明:

    例1. “3+2”


    这是一个单纯的“五进制”运算(五进制有“进位”),珠算口诀为“二下五去三”。“二”与“三”由于在下档“五进制”中互为补码,所以“加二”的时候要“去三”,并且要“下五”即向上档“进一”。也即五进制“111+11=0”同时发生“进位”。

    例2. “5+5”

    

    这是一个单纯的“二进制”运算(二进制有“进位”),珠算口诀为“五去五进一”(中国算盘上档算珠“以一代五”)。“一”与“一”由于在上档二进制中互为补码,所以“加一”的时候要“去一”,并且要“进一”(向高位)。也即二进制“1+1=0”同时发生“进位”。

    例3. “7+6”:

   

    这是一个典型的“二进制”与“五进制”的组合运算(二进制有“进位”),珠算口诀为:“六上一去五进一”。加数“六”可拆分为“五”和“一”。其“一”被加在下档五进制算珠里,即珠算口诀“一上一”,也即“11+1=111”;其“五”被加在上档二进制算珠里,即口诀“五去五进一”,也即“1+1=0”同时发生“进位”(向高位)。

    例4. “9+8”:

  

    这是一个更加典型的“二进制”与“五进制”的组合运算(二进制与五进制同时有“进位”),珠算口诀为:“八去二进一”。加数“八”可拆分为“五”和“三”。其“三”被加在下档五进制算珠里,由于“三”与“二”在五进制中互为补码,所以“加三”的时候要“去二”同时向上档“进位”,也即“1111+111=11”同时发生“进位”;而其“进位”与“拆五”由于在上档二进制中互为补码,所以二者相加即为“五去五进一”,也即上档算珠“1+1=0”同时发生“进位”(向高位)。

    珠算之减法计算,同样也可分解为一进制编码的“五进制”和一进制编码的“二进制”之组合计算(略)。珠算加减法口诀共为48句(各24句),其“二进制”与“五进制”之分解方法,见后文附录1、附录2:

    通过上面计算实例,以及附录1、附录2,我们发现,算盘上档算珠之“五上五”“五去五进一”之加法口诀,实际上就是莱布尼茨二进制之“0+1=1”“1+1=10”;而上档算珠之“五去五”“五退一还五”之减法口诀,实际上又是莱布尼茨二进制之“1-1=0”“10-1=1”。由此我们更加确定,莱布尼茨的所谓“二进制”,实乃抄袭了中国筹算及珠算之“一进制编码的二进制”技术。

    下图为“中国算盘”组合编码与“电子计算机”组合编码之结构对照:

  

    我国春秋数学名家惠施说过“至大无外谓之大一,至小无内谓之小一”,可以证明我国数算领域对“一进制编码”早已有着深刻认识。我们把惠施的话翻译过来:“至大”虽没有边界,“至小”虽没有内部,但是至大和至小的实质无外乎都是数码“1”的表现形式,所不同的只是数码“1”的“大”和“小”即所处的“位置”不同而已。从这个角度来看莱布尼茨的所谓二进制记数,又何尝不是“至大”和“至小”的“1”的表现形式呢?

    4.“一进制”数学在现代数算中的应用与展望

    对一进制数学的深入研究,势必会对计算机数学的发展和解密祖国传统神秘文化具有积极和深远的意义。例如,以“质数”为基底的进制,或是以“2的幂次”以外数为基底的进制,对莱布尼茨二进制编码来说,一定存在着一个或几个“禁用码”,但是若采用一进制编码或组合编码形式就不会产生此问题。再如,我国传统神秘文化大都来自远古文明,而远古文明的数学很可能就停留在“一进制”发展阶段,目前我已用“一进制编码”复制出了“大衍之数五十”的“河图”(注:清代着名易学家毛奇龄探究朱子《河图》走投无路时曾无奈地说“……岂非衍数、河图截然两分,数不得为图,衍不得为画乎?”)。

    中国科学院院士吴文俊先生在《东方数学的使命》一文中说:“中国的古代数学是一种算法的数学,也就是一种计算机的数学。进入到计算机时代,这种计算机数学或者是算法的数学,刚巧是符合时代要求,符合时代精神的。从这个意义上来讲,我们最古老的数学也是计算机时代最适合、最现代化的数学”。

    

 

    参  考  文  献:

    1. 莱布尼茨。二进位算术的阐述--关于只用0与1兼论其用处及伏羲所用数字的意义。国际易学研究㈤[C]。1999.

    2. 李约瑟。中国科学技术史·第二卷·科学思想史[M]。北京:科学出版社, 1990.

    3. 岳建尧。数学资料集锦[M].北京:北京师范大学出版社。1985.

    4. 姚克贤。珠算教程[M].上海:立信会计出版社。1995

    5. 郭金彬 孔国平。传统数学思想史[M].北京:科学出版社。2004.

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草根简介


    张启斌,男,1963年生人,汉族,企业工程师、自由学者。 1984——,在某大型企业从事设备运维与管理工作。1995年,发表“人类生活节律探秘”文章,潜科学杂志,1995年第四、五期连载。2005年,参加北京“首届信息科学交叉学术研讨会”,并与徐光宪院士(2008年国家最高科学技术奖获得者)等学者出版发行论文集《信息科学交叉研究》(百度搜索可查询)。 2006年,发表“二进制数学发明权属于中国”文章,百度搜索可查询。2007年,发表《一种非线性全息编码方法及其运算方法》论文,百度搜索可查询。2015年,发明“月光时标准时间”及其计时工具之设计方案,并申报国家发明专利

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