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31阶平均律(三)
2011-11-23
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  ——完备律制的解决方案

  等分四和弦

  大、小三、四和弦都是纯正的和弦,但在平均律中只能被近似地表现,好在相当地贴近。当人们在歌唱或用某些乐器演奏时,自会凭直觉做恰当的微调,以实现纯率。

  凭计算或观察音轮图上的音程线,可以发现有一个接近等分的四和弦。在31阶平均律中,6/5、7/6、7/5、5/3的音程阶数为依次为8、7、15、23阶;而31=8+7+8+8;15=7+8;23=8+7+8。即我们可以这样安排四个音以构成和弦:第一音─8阶音程(6/5)→第二音─7阶音程(7/6)→第三音─8阶音程(6/5)→第四音─8阶(6/5)→第一音(高八度的)。这样,这四个音之间就都成和谐关系。相邻两个音的音程如上所述;其它的,第一到第三音、第一到第四音、第二到第四音的音程依次为15阶音程(7/5)、23阶音程(5/3)、15阶音程(7/5)。

  不过,这是一个近似的和弦,倒不是因为在平均律中。实际上,三个8阶音程(6/5)和一个7阶音程(7/6)加起来虽为31阶,正好八度巡回,但(6/5)^3 * (7/6) = 2 * (126/125),有13.8音分的音差。好在这音差够小,不至于破坏对和弦的感受。对于31阶平均律来说,这一音差主要分布在6/5这一音程上,如前所述为6.0音分。处理音差正是平均律的长项,自然不会在意等分四和弦在本质上并不是一个纯正的和弦。在演唱与演奏中,人们凭直觉也是会安排好其中的音差的处理的。

  参见“31阶平均律(2)”中的“键盘布局图”和“31平均律与50纯率关系图”,就等分四和弦举两例:⑥①[2#][4#]、[3=][5=]⑥①。

  值得一提的是,这一和弦,如同大、小四和弦,也是不利转位的。以31阶平均律中的音程阶数计,如果把等分四和弦中的音程间隔(将回到本位的那个也计入)由8、7、8、8转成7、8、8、8或8、8、8、7或8、8、7、8,那么在四个音之间就会出现8+8=16阶这一音程。而这不是一个和谐音程。四和弦中包含个别不和谐的音程未必就不能用,但毕竟是不利的。

  同时可见,也同大、小四和弦一样,等分四和弦也是不利回旋的(就是和弦中的诸音行完后再回到高八度的第一个音)。因为一旦转回第一个音,也会遇到8+8=16阶这一不和谐音程。对于大、小四和弦,转回第一个音则会遇到8/7这一疑似不谐音程。

  此番律制研究的总结

  为律制的完备,作者引入了涉7音程及随来的大、小四和弦与等分四和弦。这些东西的价值的存在,如前所述,是显然的。它们会带来何等风味的音乐,则有待实践去揭示。

  一个合适的律制,是实践的基础。为此,权衡综合的和谐性及技术上的开销,作者推出31平均律一并调和3、5、7因子,即同时贴近传统音程及三和弦、涉7音程及相关四和弦。

  这里也关注一下完备律制新增价值的限度。一方面,涉7音程及相关四和弦在转位与回旋上都是不利的(和弦的转位与回旋实际上是相关的);另一方面,它们在和谐性上较三和弦还有差距(这一差距也是导致在转位与回旋方面不利的原因)。这些不足限制了涉7音程及相关四和弦的价值。涉7音程及相关四和弦可以带来更细致、充实的描绘,补充有益的新趣向,但作为乐音组织的整体框架原则,传统音程及三和弦的统治地位应当不会受到撼动。

  仅就传统音程,作者也提出了一个完备性扩展。那就是16律主纲,并估测主纲阳[阴]段上的6个大[小]三和弦为扩展了的大[小]调式的根基。不过这些超出律制研究的范围,涉及到了纯乐理方面的内容,在此并未深入。将16律主纲扩展到22纯率(使主纲上的12个3音程线上都既有大三和弦也有小三和弦)在乐理上的意义也尚不明确,只是从数理上看对称性很完美。

  要想实践主纲16律音乐、22纯率音乐、乃至运用涉7音程及和弦的音乐,除了在前边文章中设计过的电子乐器、软乐器上开展实践外,很重要的是要对传统音乐做更深入的理性分析。然而乐理分析会是一个海量而细致的工作,还非得下手实践不可,耗时甚巨。一眼望去,前边是一个尚未开拓好的广阔的乐理世界,虽一生难尽,不免令人却步。

  为防理论上的疏漏,在此讨论一下9因子。在理论上,我们系统地放弃了11及以上的因子。7以上剩下的8、9、10三个整数都不是独立的因子,忽略2这个基础性的按需要随意加入的因子,这三个数只关系到3、5两个传统因子。除了和谐音程或其补音程,这几个数真正关系到的只有(9/5、10/9)、9/7、9/8这几个音程。这些音程的和谐性仅次于8/5及涉7音程。也是这里的律制研究不予考虑的音程中最和谐的。这些音程具有多少可感受性,相应是否还有些可用价值,还是有通过实践加以探究的必要的。31平均律在这几个音程上的偏差稍大,依次为11.1、9.3、10.4音分,不过比12平均律在传统的音程(6/5,5/3)、(5/4,8/5)上的15.6、13.7音分的偏差还算是小的。只是其它候选的平均律在这几个不够和谐的音程上的偏差都比31平均律来得要小些。

  一点沾沾自喜

  此番研究中的收获还包括为达成直观而制作的音轮图。特别是基于音轮图中的对称性还发现了旋律镜像这一新的作曲技法。我甚至不吝要视之为一个科学发现。有时候,当我在哲学的范畴内腾云驾雾,怎么说都有理之际,难免会有一种不踏实的感觉,此时不禁会情愿以所有的哲学奇想换取一个不论多小但求扎实的科学发现。旋律镜像法是一个可直接操作的发现。按一般的社会传播规律,不出两、三年,必流行于音乐界。

  律制研究至此告一段落。相信这里的研究基本上可以终结这一研究课题。敢这么说,是因为这里的研究不是在隔着一层、繁琐却未免有失要领的音乐术语中打转转,而是直接建立在数理的基础之上。还是那句话,逻辑在物之先。逻辑对了,物理世界必遵行不悖。对于纯属于乐理的调性为何,作者承认一时不及参透,但这里针对所有可用的音程所建立起来的律制一定已为所有可能的调性奠定了基础。

  作者对至此的研究结果是满意的。许久以前作者对律制问题就做过初步的探索。但算着算着,不禁越来越繁琐,一个打岔就撂下不顾了。此番偶然再拾起,能坚持进行到底,多亏有点结果就在草根网发了出去。这使人不免觉得有义务尽可能把后面的交代清楚。往前一查,已经近四个月了,期间差不多将所有可支配的精力都投了进去。做着做着,中间有许多次也不免叹口气,唉,什么时候才能做完呢。其实就研究而言,这还真是一个相对单纯而小型的课题。就这也多亏当前易得的一些软件的帮助。

  真的做完了这项研究,不免还有些失落感。这阵子习惯了有个研究对象捣鼓捣鼓,接下来该做什么呢?哪里还有这么便宜的研究课题呢?


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  • 由6楼的议论发点感想:据些年出土的文物(如河南贾湖出土的骨笛、山西万荣出土的埙……可知,在7、8千年甚至上万年之前,华夏国土上就有了定型的乐器,所奏出的音也有稳定的、合律的音准;我们今天对乐器、音准做研究,有不少依据可以凭借;上万年前的先辈凭借什么呢?我们期望当代的音乐家也在这上面有所探讨。
    2012/3/24 11:38:03
  • 河洛一介,网名不凡,出处有典,具国学底蕴。你的评论也是。另多谢夸赞,欢迎踏足草根网。
        昨见你的评论令我重回翻阅有关乐理的那几篇文章。不少地方看着我都有点吃惊自己搞过这么个有些专、繁的研究,还搞成了。得感谢我的一个同学一次分享了一首令我有感触的曲子,触发了这一研究。我的另一位同学还帮着把我试制的片段曲子放到了网上。
        惭愧的是近来阶段性地较少参与草根网上的议论活动了。有三、两篇文章写到一半就撂下了。一般一篇文章我在一、两天内成文就发出;一旦撂下基本就回不去了。近来稍有些它事。不过此刻我心中有一个论题,待拾聚起精神写一篇文章。
    2012/3/15 9:44:39
  • 今人常为“中国是礼仪之国”而自豪,事实这个“礼”就包括了“乐”。有史以来的重要文献都对“乐”做过详细的载述,尤其是北宋,对于铸造、磨制钟磬乐器的记载详细得惊人;这是其他国度所无的。然而,今天对中国音乐的研究却并不多。上文确实研究音乐的佼佼者,看到此文,甚感慰藉。
    2012/3/14 12:13:08
  • 回[4楼] 评论人: ffm911
        啊?老菲来过,怎么会错过,罪过啊罪过。
        趁地球还在,我们也在,远握。
        还真是的,现在又想写点东西了,可能会随心所至,希望仍能入你的眼。
        你也是下笔如刀的强手,也休眠够久了,也可以醒醒了吧。
    2012/1/9 9:12:16
  • 很是佩服!
    2011/11/24 14:10:14
  • 多谢阿飞的点评。正是你指出我做出的第一张纯律7音轮示意图实际上为12等分图,促使我下决心不避麻烦做出准确的音轮图。真的做了发现也不象预想的那么难。准确的音轮图及上面的音程线对后续的纯律研究帮助极大,否则那么多的音,各自的位置及相互间的音程关系是很难记忆与把握的。为这该谢你一声。
    2011/11/24 8:46:53
  • 觉得这种研究挺有意义的,特别以形示音和以数理示音,别具一格。
    2011/11/23 17:03:08
评分与评论 真差 一般 值得一看 不错 太棒了
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草根简介


祖籍江南。生长于东北。就学(物理专业)并工作(现)于上海。【草根虽浅,叶指长空】
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