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数的概念的形成和扩充
2013-10-24
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  数(shù)产生于数(shǔ),数(shǔ)的结果就是数(shù)。一个接一个地数(shǔ):“一、二、三、四、……”,一个一个的数(shù)就产生了。因为这样的数(shù)由数(shǔ)自然而然的产生,人们便称之为自然数。

  数(shǔ)可以无休止的进行下去,自然数可以无休止的产生。人们不能无休止地创造新字符来表示这些数不完的自然数,于是就有进制的问题。“一而十,十而百,百而千,千而万”,说的就是十进制。全世界的人绝大多数都是十指十趾,有人多一或少一指(趾)都有不正常之感,所以中国话有“十全十美”之词。于是十进制便成了人类最通用最常用的进制,十个一为一十,十个十为一百,十个一百为一千,十个一千为一万。没有特别说明,人们看到的数便是十进制的数。有了十进制,中国人用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十再加上百、千、万、亿、兆等字就可以表示常用的自然数了。

  等分圆周,十等分是一件麻烦的事,而两等分,三等分,四等分,六等分,八等分,十二等分反而容易。昼夜是地球绕着太阳转形成的,相对地看作太阳绕着地球转也行。人们在根据日月星辰昼夜变化来确定时间的过程中,自然地形成了十二个月为一年,十二个时辰为一昼夜的十二进制。这里一年分十二个月,一昼夜分十二个时辰,本质上是将圆周十二等分的结果。某些商品也有十二进制的现象,如十二双袜子或十二支铅笔为一打。英文造了十二个单词来表示一到十二这十二个数,就是十二进制的殘留。但十二进制远不如十进制常用,所以十二以上的自然数,英文也是用十进制构词法来表示。

  周易蕴涵了二进制原理。计算机技术就是二进制原理的运用。上世纪八十年代末九十年代,中国高考的考生填写相关代码采用八进制。进制不同,运算规律也会有所不同。二进制、八进制等,在生活中也不常用。

  每次都靠数(shǔ)来得到数据十分麻烦,并且有些数据不可能通过一个接一个地数来获得。例如一个分居多处的部落有多少人口,不能把这个部落的全部人口集中到一起来一个接一个地数,这就需要计算,有计算就有相应的算法。两处或多处人口数合起来有多少人口的算法就是加法。一支军队有若干人,派遣其中若干人去执行某项任务,还剩下多少人,其算法就是减法。任何两个自然数都可以相加,减法则受到限制。然被减数小于减数的情况也能遇到,如现有的财物是被减数,支出便是减数,支出大于现有的情形就是超支。超支的数目可以称之为赤字,也可以称之为负数,没有本质上的区别,但“负数”比赤字更方便通用。有了负数,任何两个自然数都可以相减了。当被减数与减数相同时,结果用数“零”表示。数“零”比负数更显得自然,更容易被人们接受,所以,“零”也可以归类于自然数。“零”到底算不算自然数,由相关的文本规定。在解答与自然数相关的问题时,一定得弄清所用文本关于自然数的规定中是否包括“零”。

  用中文数字一、二、三、……、百、千、万或相应的英文单词来进行运算有些麻烦。中国算盘的发明在一定程度上避免了麻烦,但仍有不足。于是世界各地先后采用了阿拉伯数字符0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,一十用10表示,一百用100来表示。0、1、2、3、4、5、6、7、8、9放在不同的数位就代表不同的数值。有了阿拉伯数字及数位表示法,连同运算符表示算式,运算就更便捷了。

  阿拉伯数字其实是印度人发明的。阿拉伯数字由印度传入阿拉伯地区后,西方人再从阿拉伯人那里习得,误传为阿拉伯数字。如今中国人也习惯于称之为阿拉伯数字。印度人不争发明权,中国人也无需改称印度数字了。

  西方人在习得1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个印度数字后,对“0”却难以接受。在0这个符号引入到西方初时,曾经引起西方人的困惑,因当时西方认为所有数都是可数的,而且0这个数字会使很多算式,逻辑不能成立(如除以0),甚至认为是魔鬼数字,而被禁用;直至约公元15、16世纪,0和负数才逐渐被西方人所认同,使西方数学有快速发展。西方对“0”和负数的困惑与禁止,一如草根网博主无名氏即金然寿对“0”和负数的诘难。

  有了负数的概念,并且用符号“-”来表示减法和负数,加法和减法就可以统一为加法了。

  负数和零都是减法运算产生的数,分数和整数的概念则形成于均分。3件物品可均分为三分,6件物品可均分为3分,求均分结果的运算叫除法。六除以三可记为6÷3,也可以记为6/3. 3/3为1,6/3为2,这是可以“除尽”的情形,能“除尽”也叫做“整除”。7/3得2余1.如果余的1也要分,例如7个果子3人均分,每人分得2个,余下的一个只好切成三份,每人得一份,即三分之一个。“一除以三”及“三分之一”都可以用1/3来表示。由此产生的数“三分之一”、“三分之三”等就叫分数。其中整除的结果叫做整数。自然数(不包括零)叫正整数,负的整数叫负整数。分数是整数的扩充,分数包括整数。

  分数的产生虽然不如自然数那么自然,却似乎是有道理的,不难接受的,故分数也称之为有理数。

  有了有理数的概念,乘法和除法又可以统一为乘法了。

  计算相同加数的和产生了乘法,几个相同的数相乘产生了乘方运算,如五乘以五称之为五的平方,三个五连乘称之为五的立方。中国古代传说的“勾三股四弦五”是指直角边长分别为三和四,则斜边长为五。两直角边的平方和等于斜边的平方,三的平方加四的平方的和等于五的平方。正方形的面积是边长的平方。直角边长都是1的三角形的斜边长的平方是2,斜边长是多少呢?面积为2的正方形的边长是多少呢?这就遇到了平方的逆运算。平方的逆运算叫开平方,立方的逆运算叫开立方。开平方与开立方都有实际意义。开平方的结果叫平方根,开立方的结果叫立方根。平方根、立方根往往不是已有的有理数,但这类数又应该真实存在。于是人们把这类数称之为实数,其中是实数但不是有理数的称之为无理数。二和三的平方根和立方根都是无理数。圆周率也是一个无理数。由于0的平方是零,正、负实数的平方都是正数,因此负数的平方根就不可想象。但人们为了解方程的需要,还是把负数的平方根也叫做数,这种数是“不真实”的、虚幻的、虚构的,因此叫做虚数。实数与虚数以及它们混合四则运算产生的数叫做复数。复数的代数形式是a+bi,其中i是负一的一个平方根,叫做虚数单位。无理数难以被人们接受,为此早期“发现”无理数的数学家曾献出了生命。虚数更难以被接受。一旦人们接受了虚数,就不仅仅是满足了某些数学爱好者解方程的需要,而且形成了一门新的数学分支复变函数,在三角、解析几何、电学等方面得到应用。

  有了无理数的概念,并且引进分数指数,乘方和开方的运算又可以统一为幂的运算。

  数的概念扩充到复数,减法、除法、开方就圆满了。

  数(shù)的概念产生于数(shǔ),因运算的需要而扩充,根本的动力是生产实践、科学研究和数学学科发展的需要。虽然历经曲折,却并不神秘。值得一提的是,在人们接受了虚数了以后,还有人发现了更为奇特的数——四元数a+bi+cj+dk.当c,d都为0时就是复数,也就是说四元数又是复数的扩充。四元数居然在理论物理中得到了应用。

  还需要提出,我国古代数学取得过辉煌的成就,但近代落伍了。近代落伍的最根本的原因是国家整体实力落后,没有采用一整套便捷的运算符号体系也是一个不可忽视的自身的原因。


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  • [114楼]
    你知道物理学何意吗?宇宙万物之理,简称物理。
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    你正面阐述一下你的物理,让大家看看有没有含金量或者含理量。
    2013/11/5 9:42:32
  • [114楼]
    你知道物理学何意吗?宇宙万物之理,简称物理。
    ----------
    对时间的比较精确的计量,可以作为方便用于生产科研,衣食住行,这就足够了。你的幺娥子“物理”何用?
    2013/11/5 9:30:01
  • 这个东西3米,是什么意思呢?表示长度为三米吗?不是,表示这个东西和度量衡之间的相对关系。事实上,根本不存在脱离物物关系的“长度”
    =============
    你去布店扯布,扯3米,扯9尺。无论你说米还是说尺,都是对你要扯的布的度量或计量。也许你愚昧到连米、尺都无法理解,你只能用你的臂长去比划一下,仍然是对你所需要扯的布的一种度量。谁说了你扯的不是布而只是脱离布的“长度”。
    2013/11/5 9:14:21
  • [113楼] 评论人: 金然寿
    你每天上班12小时,这是你自己说的,你的工作是加工物件,这也是你自己说的。你加工物件不要时间吗?12个小时是一昼夜的一半,怎么成了空洞的符号。小时是对时间的一种计量。时间连续地流逝,不可逆转,不可一个一个地去数,但可以计量。
    2013/11/5 9:04:15
  • 请回答,时间有数数对象吗?请注意,钟表的格子,只是距离的等分。有数数对象的可以省略,为了简便嘛、但是为了简便而使用的纯数口令,不能无条件跨越到没有数数对象的东西上。比如时间。曹先生这样的纯数体系的捍卫者,其实就是为了这个秘密而存在的。资本主义,正是把没有具体对象的“时间”作为工具和平台,进行统治。
    =========
    把一昼夜划分为十二个时辰不就有数的对象了么?
    小金然寿的想法实在奇怪,你不是说每日加工物件12小时么,你这12小时是怎么来的?难道不计时间不分昼夜地干反而符合你的什么主义么?是不是老板让你干到什么时候你就得干到什么时候?
    2013/11/4 23:16:06
  • 数(shǔ)可以无休止的进行下去?
    ========
    在感谢之后要答复一下先生的诘问。所谓可以无休止的进行下去,是指一个接一个的数,数了一个还有下一个,而不是说先生你可以不吃不喝数下去。

    所谓“一个接一个”是抽象的想象,现实的不存在这种一个接一个。逻辑的可能和现实的可能是两回事。

    即使你编制个程序“数”,现实中它也不会无限的进行下去。
    for(i=1;i>0;i++)
    {
        print( “hnyxyzcyc已经数了:”  i .tostring())
    }
    2013/10/31 22:53:00
  • 老曹反客为主乐陶陶,搞得某些人也心痒痒跟进!哈哈
    2013/10/31 12:50:06
  • 闪!
    2013/10/31 12:50:04
  • 世说新语——金生较真
    世有金生然寿者,凡事较真。师授其“大”、“小”二字,其诘之曰,明明两个字大小差不多,何以厚此薄彼一个字念“大”,一个字念“小”?
    2013/10/31 12:41:10
  • 金母虽然够贤慧够耐心,可是仍不免忧心忡忡:我这傻儿子,让他认识数字“万”,能加工万根筷子教他来数吗?
    2013/10/31 12:24:23
  • 金母就是金母,不然怎么说其“贤不亚于孟母”、“循循善诱因材施教不亚于孔夫子”哩。犯傻的小金难不倒聪慧贤婌的金母,她又想到了能让儿子可以数下去的办法,她麻利地为儿子加工了二十根竹筷子。为了依从倔强的数不离量名的儿子,金母只能不厌其繁地手把手地教:“一根筷子,两根筷子,……,十九根筷子,二十根筷子。”小金终于自信地习得了从一根筷子数到二十根筷子。
    2013/10/31 12:20:27
  • 金然寿似有所悟:“一根手指,两根手指,……、十根手指,十一?”妈呀,是该数“十一根手指”,还是该数“十一个脚趾”呢?小金又犯难了。
    2013/10/31 12:07:30
评分与评论 真差 一般 值得一看 不错 太棒了
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昔孔子述而不作,其开创的儒学却成为中华两千余年的显学。现有曹耀成,湖南某县一中学数学老师,既无对现有理论的权威解读,更无新创宏大理论体系,愿以孔子为师,在草根网开博拿偶有的思想情感与网友交流。
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